Home » Unlabelled » apa itu HIMPUNAN??

apa itu HIMPUNAN??

7. Diagram Venn

Pendefinisian himpunan dengan diagram venn dibentuk dengan cara menempatkan himpunan Semesta S pada sebuah persegi panjang dan untuk himpunan lainnya dengan kurva tertutup sederhana dan anggotanya dengan noktah (titik).

Teladan 1.8

Misalkan dimiliki himpunan A = { a, i, u, e, o, 1, 2} dan B = {1, 2, 3, 4, a, o} maka pendefinisian dalam diagram venn sebagai berikut

Gambar 1.2

Diagram venn di atas berarti bahwa, telah didefinisikan himpuan A = {1, 2, a, i, u, e, o} dan B = {1, 2, 3, 4, a, o} dan himpunan {1, 2, a, o}.

JENIS-JENIS HIMPUNAN

Telah dikemukakan di atas bahwa konsep himpunan dalam matematika angggotanya harus terdefinisi dengan jelas. Dari konsep tersebut dikembangkan beberapa konsep himpunan yang didefinisikan. Konsep-konsep tersebut adalah sebagai berikut:

Definisi 1.1 Himpunan Semesta

Suatu himpunan S disebut himpunan semesta jika dan hanya jika keseluruhan dari elemennya menjadi topik pembahasan suatu himpunan tertentu.

Teladan 1.9

a. Misalkan B = himpunan mahasiswa jurusan IPA Biologi IAIN Mataram, maka himpunan semesta dari B adalah S = himpunan mahasiswa fakultas tarbiyah IAIN Mataram atau S = himpunan mahasiswa IAIN Mataram.

b. Misalkan B = himpunan bilangan Asli, maka himpunan semestanya adalah S = himpunan bilangan Bulat.

c. Misalkan C = himpunan bilangan bulat, maka himpunan semestanya adalah S = himpunan bilangan Real

Definisi 1.2 Himpunan Kosong

Suatu himpunan disebut himpunan kosong jika dan hanya jika himpunan tersebut tidak memiliki anggota dan disimbolkan dengan Ф atau { }

Teladan 1.10

Misalkan didefinisikan himpunan sebagai berikut:

a. A = Himpunan dosen non muslim IAIN Mataram

Dalam hal ini, dengan jelas dapat ditentukan bahwa himpunan A tidak memiliki anggota, karena syarat untuk menjadi dosen IAIN Mataram harus muslim.

b. B = Himpunan bilangan asli yang kurang dari 1

Karena himpunan bilangan asli adalah {1, 2, 3, . . .}, jelas bahwa tidak ada bilangan asli yang kurang dari 1, sehingga n (B) = 0.

Definisi 1.3 Himpunan Berhingga dan Tak Berhingga

Suatu himpunan disebut berhingga jika dan hanya jika banyaknya anggota himpunan tersebut dapat dinyatakan dalam bilangan bulat tak negatif dan sebaliknya disebut himpunan tak berhingga

Sebutan lain dari himpunan berhingga adalah finit set dan tak berhingga unfinit sets.

Teladan 1.11

Misalkan dimiliki himpunan sebagai berikut:

A = Himpunan mahasiswa IAIN yang masih BALITA

B = {1, 3, 5, 7}

C = {0, 2, 4, 6, . . , 20}

D = {x/x nama hari dalam seminggu}

E = {0, 1, 2, 3, …}

F = {. . ., -2,-1,0,1,2,. . . }

G = {x/0<x<1}

Dari himpunan tersebut di atas, himpunan A, B, C dan D adalah himpunan berhingga karena n(A) = 0, n(B)=4, n(C) = 11 dan n(D) = 7. Sedangkan himpunan E, F dan G adalah himpunan tak berhingga, karena n(E), n(F) dan n(G) tidak diketahui.

Definisi 1.4 Himpunan Terbilang dan Tak Terbilang

Suatu himpunan disebut terbilang jika dan hanya jika setiap anggotanya dapat disebutkan satu persatu, dan sebaliknya disebut tak terbilang.

Istilah lain dari himpunan terbilang adalah Caountable atau Denumerable dan untuk yang tak terbilang disebut Un Countable atau Non Denumerable.

Teladan 1.12

Misalkan dimiliki himpunan sebagai berikut:

A = {a,b,c,d}; B = {1,2,3,. . .} dan C = {x/0 < x < 1}

Himpunan A dan B disebut himpunan terbilang, karena setiap anggotanya InsyaAllah dapat disebutkan satu per satu meskipun B juga termasuk himpunan tak berhingga. Sedangkan C adalah himpunan tak terbilang, karena kita tidak dapat menyebutkan satupersatu anggotanya. Karena kita tidak dapat menyebutkan bilangan real setelah nol atau bilangan real sebelum 1. Dalam hal ini C juga disebut himpunan tak berhingga dan tak terbilang.

Definisi 1.5 Himpunan terbatas dan Tak Terbatas

Suatu himpunan disebut terbatas, jika dan hanya jika himpunan tersebut memiliki batas atas dan batas bawah

Sebutan lain dari himpunan terbatas adalah Bounded Set dan Tak terbatas Un bounded Set.

Teladan 1.13

a. K ={1,2,3,4}, mempunyai batas bawah 1 dan batas atas 4. Jadi L merupakan himpunan terbatas.

b. L = {x/x < 4}, hanya mempunyai batas atas, yakni 4. Jadi L merupakan himpunan tak terbatas.

RELASI HIMPUNAN

Relasi antara dua buah himpunan adalah pernyataan yang mendefinisikan hubungan antara suatu himpunan dengan himpunan lainnya.

Definisi 1.6 Relasi Bagian (Sub Set)

Suatu himpunan A disebut bagian dari himpunan B jika dan hanya jika untuk setiap anggota A menjadi anggota dari B.

Model simboliknya:

Lebih lanjut A disebut Himpunan Bagian dari B dan B disebut Super Himpunan A

Teladan1.14

a. Misalkan A = himpunan mahasiswa kualifikasi IPA Biologi IAIN Mataram dan B = himpunan mahasiswa IAIN Fakultas Tarbiyah IAIN Mataram. dalam hal ini Himpunan A disebut sebagai himpunan bagian dari B, karena semua mahasiswa kualifikasi IPA Biologi IAIN Mataram adalah mahasiswa Fakultas Tarbiyah IAIN Mataram. Secara simbolik ditulis sebagai Karena

b. Misalkan dimiliki himpunan

C = { 1, 2, 3, a, b, c, d} dan D = { 1, b, 3, d}, maka D adalah himpuan bagian dari C, karena semua anggota D adalah anggota C.

Pengertian 1.2 Himpuan Bagian Murni (Proper Subset)

Himpunan bagian murni adalah himpunan bagian tanpa memperhatikan himpunan itu sendiri.

Teladan 1.15

Misalkan C = {a,b, maka himpunan bagian murni dari C adalah { }, {a}, {b}.

Pengertian 1.3 Koleksi Himpunan Collection of Sets)

Suatu himpunan yang anggotanya terdiri dari himpunan disebut koleksi himpunan

Teladan 1.16

Misalkan dimiliki himpunan {1,2,3}, {a,b}, {ayam, itik, burung} kemudian dibentuk himpunan K = {{1,2,3}, {a,b},{ayam, itik,burung}}, maka himpunan K disebut koleksi himpunan.

Pengertian 1.4 Himpunan Kuasa

Suatu koleksi himpunan yang anggotanya semua himpunan bagian dari suatu himpunan tertentu disebut sebagai himpunan kuasa dari himpunan tersebut.

Teladan 1.17

Misalkan dimiliki himpunan A = {1, 2, 3}, maka himpunan bagian A adalah {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}. Himpunan kuasa dari A adalah P(A) = {Ф, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}.

Teorema 1.1

Jika A adalah himpunan dengan kardinal n, maka kardinal dari himpunan kuasa A adalah 2ⁿ

Teladan 1.18

Dari Teladan 1.9 di atas, diketahui bahwa kardinal dari A adalah 3, maka kardinal dari himpunan kuasa A adalah 2³ = 8.

Definisi 1.7 Relasi Kesamaan

Himpunan A disebut sama dengan B jika dan hanya jika A adalah Sub Set dari B dan B adalah Sub Set dari A.

Model simboliknya:

Teladan 1.19

Misalkan dimiliki himpunan A = { 1, 2, 3,4} dan B = { 4, 3, 2, 1}

Dapat diketahui dengan mudah bahwa, setiap anggota A adalah anggotaB( ) dan setiap anggota B adalah anggota dari A .

Definisi 1.8 Ekivalensi Himpunan

Himpunan A disebut ekivalen dengan B jika dan hanya jika kardinal dari A sama dengan kardinal dari B.

Model simboliknya:

Teladan 1.20

Misalkan dimiliki himpunan A = {a, b, c, d, e} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}, maka jelas bahwa n(A) = 5 = n(B). Misalkan C = Himpunan nama-nama hari dan D adalah himpunan nama-nama Bulan, maka jelas bahwa C tidak ekivalen dengan D, karena n(C) = 7 ≠ 12 = n(D).

Sekarang tentukan apakah pernyataan berikut benar..?

a. Setiap himpunan yang sama, maka himpunan tersebut ekivalen

b. Setiap himpunan yang ekivalen, maka himpunan tersebut sama

SIFAT-SIFAT RELASI HIMPUNAN

Definisi 1.9 Sifat Refleksif

Suatu relasi disebut refleksif jika dan hanya jika relasi tersebut merelasikan himpunan tersebut dengan himpunan itu sendiri

Teladan 1.21

Jika A adalah himpunan, maka jelas bahwa A A, A=A dan A~A. Hal ini menunjukkan relasi bagian, relasi kesamaan dan relasi ekivalen merupakan suatu relasi refleksif.

Definisi 1.10 Sifat Simentrik

Suatu relasi antara dua buah himpunan disebut simetrik jika dan hanya jika himpunan pertama berelasi dengan himpunan kedua mengakibatkan himpunan kedua berelasi pula dengan himpunan pertama

Relasi kesamaan “ = “ dan ekivalen “~” merupakan relasi simetrik, sebab

i). A = B ==> B = A

ii) A ~ B ==> B ~ A

sedangkan bukan relasi simetrik, sebab

iii) A B maka belum tentuk B A

Jika A adalah himpunan, maka jelas bahwa A A, A=A dan A~A. Hal ini menunjukkan relasi bagian, relasi kesamaan dan relasi ekivalen merupakan suatu relasi refleksif.

Definisi 1.11 Sifat Anti Simentrik

Suatu relasi antara himpunan A dan B disebut Antisimetrik jika dan hanya jikaA berelasi dengan B dan B berelasi dengan A mengakibatkan A = B

Relasi merupakan relasi Anti simentrik, sebab jika A B dan B A maka A = B. Sedangkan relasi ~ bukan Anti Sementrik, sebab tidak berlaku jika A~B dan B~A tidak dapat menyebabkan A = B

Apakah relasi = merupakan relasi Anti Simetrik..?Silahkan selidiki sebagai latihan!

Definisi 1.12 Sifat Transitif

Suatu relasi antara dua himpunan disebut transitif jika dan hanya jika himpunan pertama berelasi dengan himpunan ke-dua menyebabkan himpunan pertama berelasi dengan himpunan ketiga.

Ketiga relasi, , = dan ~ merupakan relasi transitif, karena

i). A B dan B C maka A C

ii). A = B dan B = C maka A = C

iii). A ~ B dan B~C, maka A ~ C

OPERASI HIMPUNAN

Operasi adalah suatu relasi yang berkenaan dengan suatu unsur atau lebih sehingga menghasilkan unsur lain yang unik/tunggal.

1. Operasi Uner

Operasi uner merupakan operasi tunggal, dalam himpunan operasi uner yang didefinisikan adalah komplemen.

Definisi 1.13 Operasi Komplemen

Jika A adalah suatu himpunan, maka operasi komplemen pada A didefinisikan sebagai

Pengertian dari definisi tersebut adalah, komplemen dari A adalah himpunan A’ yang anggotanya adalah bukan anggota dari himpunan A yang ada pada himpunan semesta A.

Teladan 1.22

Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, maka jelas bahwa semesta dari A adalah S = Himpunan bilangan Asli. Maka A^’ = { 5, 6, 7, . . .}.

Misalkan B = { Muharam, Rajab, Zulhijjah}, maka jelas bahwa himpunan semesta dari adalah S = Himpunan nama bulan hijriah. Oleh karena itu maka B^c = {Safar, Rabiul Awal, Rabiul Akhir, Jumadil Awal, Jumadil Akhir, Sa’ban, Ramadhan, Syawal, Zulqaidah}.

2. Operasi Biner

Biner berarti dua, sehingga operasi biner berarti operasi yang melibatkan dua buah himpunan.

Definisi 1.14 Operasi Irisan (Intersection)

Jika A dan B sembarang himpunan, maka operasi irisan A dan B didefinisikan sebagai

Pengertian dari definisi di atas adalah, irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan baru yang anggotanya adalah anggota himpunan yang ada di A dan juga ada di B.

Teladan 1.23

Misalkan A = { 1, 2, 3, 4, 5} dan B = {3, 4, 5, 6, 7} maka irisan dari A dan B adalah

, karena

Gambar 1.2

Ada dua jenis relasi sebagai tambahan ketiga relasi tersebut di atas yang berhubungan terdefinisinya irisan, yakni Relasi Berpotongan/Lepas.

Definisi 1.15 Relasi Berpotongan atau beririsan

Dua buah himpunan disebut memiliki relasi berpotongan jika dan hanya jika irisannya bukan himpunan kosong. Dalam notasi matematika ditulis sebagai

Himpunan yang yang memenuhi definisi tersebut disebut sebagai himpunan beririsan atau berpotongan.

Teladan 1.24

Misalkan dimiliki himpunan A = { 1,2, 3, 4} dan B = {2, 3, 5, 7} maka A dan B disebut himpunan yang saling beririsan karena

Definisi 1.16 Relasi Lepas

Dua buah himpunan disebut memiliki relasi lepas jika dan hanya jika irisannya merupakan himpunan kosonga. Ditulis dalam notasi matematika sebagai .

Selanjutnya himpunan yang memenuhi definisi relasi lepas, disebut sebagai himpunan saling lepas.

Teladan 1.25

Misalkan dimiliki himpunan A = { 1,2, 3, 4} dan B = {5, 7, 11,17} maka A dan B disebut himpunan yang saling lepas karena

Definisi 1.17 Operasi Gabungan Himpunan (Union)

Jika A dan B sembarang himpunan, maka operasi gabungan A dan B didefinisikan sebagai

Dari definisi tersebut, hasil operasi gabungan himpunan A dan B adalah himpunan baru yang anggotanya ada di A atau ada di B. Dengan kata lain himpunan yang anggotanya gabungan dari anggota himpunan A dan B,

Teladan 1.26

Misalkan himpunan A = { 1,2, 3, 4} dan B = {2, 3, 5, 7} maka

Definisi 1.18 Operasi Penjumlahan Himpunan

Jika A dan B sembarang himpunan, maka operasi penjumlahan himpunan A dan B didefinisikan sebagai

Dari definisi tersebut adalah, hasil operasi penjumlahan himpunan A dan B adalah humpunan baru yang anggotanya adalah anggota himpunan Adan Anggota himpunan B yang tidak termasuk dalam anggota irisan A dan B.

Teladan 1.27

Misalkan dimiliki himpunan A = { 1,2, 3, 4} dan B = {2, 3, 5, 7} maka sehingga

Definisi 1.19 Operasi Pengurangan Himpunan

Jika A dan B sembarang himpunan, maka operasi pengurangan himpunan A dan B didefinisikan sebagai

Pengertian dari definisi tersebut adalah, hasil operasi pengurangan himpunan A dan B adalah humpunan baru yang anggotanya adalah anggota himpunan A yang bukan menjadi anggota himpunan B.

Teladan 1.28

Misalkan dimiliki himpunan A = { 1,2, 3, 4} dan B = {2, 3, 5, 7} maka

Definisi 1.20 Operasi Perkalian

Jika A dan B sembarang himpunan, maka operasi pengurangan himpunan A dan B didefinisikan sebagai

Pengertian dari definisi tersebut adalah, hasil operasi perkalian himpunan A dan B adalah humpunan baru yang anggotanya dibentuk dari pasangan terurut anggota A dan B.

Teladan 1.29

A = {a,b} dan B = {1,3,5}, maka

A x B = {(a,1), (a,3), (a,5), (b,1), (b,3) dan (b,5)}

Teladan 1.30

Suatu survey yang dilakukan terhadap 100 orang, menyatakan bahwa 60 orang yang memiliki pesawat radio, dan 25 orang yang memiliki pesawat TV. Selanjutnya ternyata ada 30 orang yang tidak memiliki kedua pesawat tersebut. Tentukan berapa orang yang memiliki pesawat radio dan TV?

Solusi:

Misalkan yang memiliki kedua jenis pesawat tersebut adalah x, maka 60-x orang yang memiliki pesawat TV saja. Diagram venn kasus ini adalah

Gambar 1.3

Dari gambar di atas, dapat persamaan sebagai berikut:

60-x + x + 25-x + 30 = 100 à x = 15

Jadi ada 15 orang yang memiliki kedua pesawat tersebut:

Teladan 1.31

Disuatu pematang sawah, ada beberapa ekor bebek sedang jalan beriringan. Pada iringan tersebut tampak bahwa 2 ekor berada di depan yang satunya, dan 2 ekor lagi di belakang yang satunya. Ada berapakah ekor bebek yang ada pada pematang sawah tersebut:

Solusi:

Dagram venn dari permasalahan tersebut adalah

Gambar 1.4

Berdasarkan dagram venn tersebut jelas terdapat 2 ekor bebek di depan yang satunya dan 2 ekor bebek di belakang yang satunya, sehingga banyaknya bebek pada pematang sawah tersebut adalah 3 ekor.

HUKUM-HUKUM HIMPUNAN

Hukum dalam pengertian ilimiah adalah teorema yang kebenaranya sudah terbukti. Terdapat banyak hukum dalam teori himpunan, akan tetapi dalam pengantar dasar matematika, akan dibahas 12 hukum. Misalkan A, B dan C sembarang himpunan, maka berlaku relasi berikut:

1. Hukum Identitas i) ii)	2. Hukum Dominasi i) ii)
3. Hukum Komplemen I i). ii)	4. Hukum Komplemen II i). ii).
5. Hukum Idempoten i) ii).	6. Hukum Involusi i).
7. Hukum De Morgan i). ii).	8. Hukum Penyerapan/absorpsi i). ii).
9. Hukum Komutatif/Pertukaran i). ii).	10. Hukum Asosiatif/Penglompokan i). ii).
11. Hukum Distributif i). ii).
12. Hukum Dualitas; yakni penukaran operasi degan dan himpunan S dengan . Misal

ALAJABAR HIMPUNAN

Aljabar berarti penyelesaian permasalahan matematika dengan pengoperasian simbol-simbol sebagai lambang dari permasalahan matematika yang belum diketahui penyelesainnya. Konsep fikir aljabar ini pertama kali dikembangkan oleh ilmuan islam Al-Khwarizmi yang berkembang pada tahun 780-850M. Istilah Aljabar diambil dari tulisannya yang paling terkenal dengan judul Hisab Al-jabr wal muqabalah yang artinya perhitungan dengan restorasi dan reduksi pada tahun 830M.

Istilah Bahasa Arab	Istilah Bahasa Indonesia	Istilah Bahasa Ingris
Al-Jabr	Aljabar	Algebra

Konsep Lajabar yang dikembangkan oleh Al-Khawarizmi disebut aljabar klasik yang merupakan suatu konsep matematika yang menggunakan simbol-simbol untuk mewakili bilangan yang belum diketahui dalam perhitungan. Dalam pengembangan ilmu pengetahuan dan teknologi, kenyataan diketahui bahwa tidak hanya bilangan yang dapat diwakili oleh simbol-simbol tersebut, bisa juga konsep-konsep lainnya, seperti sifat simetri suatu banngun, posisi dari suatu jaringan, instruksi terhadap suatu mesin atau dapat juga melambangkan desain dari sebuah ekspresi statistik. Kenyataan ini kemudian disebut dengan aljabar modern.

Teladan 1.30

Jika A, B dan C semabarng himpunan, maka Buktikan bahwa

Bukti:

i) Menggunakan hukum–hukum himpunan:

ii) Menggunakan tabel sifat keangotaan dengan cara sebagai berikut:

Misalkan x suatu objek, maka terhadap himpunan A dan B akan terdapat kemungkinan x A atau x A, dan x B atau x B. Jika kenyataan x sebagai anggota dinyatakan sebagai 1 dan dan kenyataan x bukan sebagai anggota dinyatakan dengan 0, maka dapat dikontruksi tabel kebenaran sebagai berikut:

A	B	A B	B’	A B’	(A B) ( A B’)
1	1	1	0	0	1
1	0	0	1	1	1
0	1	0	0	0	0
0	0	0	1	0	0

Dari tabel tersebut, diperoleh kenyataan bahwa sifat keanggotaan pada himpunan A sama dengan sifat keanggotaan himpunan (A B) ( A B’), maka dapat disimpulkan bahwa

A = (A B) ( A B’). Jadi terbukti.

Bukti:

Dengan tabel keanggotaan

A	B	B-A	A (B-A)	A B
1	1	0	1	1
1	0	0	1	1
0	1	1	1	1
0	0	0	0	0

Dari tabel tersebut, diperoleh kenyataan bahwa sifat keanggotaan pada himpunan A (B-A) sama dengan isfat keanggotaan himpunan A B, maka dapat disimpulkan bahwa A (B-A) = (A B) ( A B’). Jadi terbukti.

Bukti:

Jadi terbukti;

Pembuktian dengan tabel keanggotaan sebagai berikut:

A	B	C	A-B	(A-B)-C	A-C	(A-C)-B
1	1	1	0	0	0	0
1	1	0	0	0	1	0
1	0	1	1	0	0	0
1	0	0	1	1	1	1
0	1	1	0	0	0	0
0	1	0	0	0	0	0
0	0	1	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0

Dari tabel tersebut, diperoleh kenyataan bahwa sifat keanggotaan pada himpunan (A-B)-C sama dengan isfat keanggotaan himpunan A-C)-B, maka dapat disimpulkan bahwa (A-B)-C = (A-C)-B. Jadi terbukti.

Bukti:

Terbukt bahwa

Pemuktian dengan menggunakan tabel keanggotaan adalah sebagai berkut:

A	B	A+B	(A+B) A	B’	A B’
1	1	0	0	0	0
1	0	1	1	1	1
0	1	1	0	0	0
0	0	0	0	1	0

Dari tabel tersebut, diperoleh kenyataan bahwa sifat keanggotaan pada himpunan (A+B) A sama dengan sifat keanggotaan himpunan A B’, maka dapat disimpulkan (A+B) A = A B’. Jadi terbukti.

Berikut diberikan contoh pembiktuan sifat himpunan menggunakan alajab himpunan berdasarkan definisi himpunan.

Teladan 1.31

Buktikan bahwa, jika dan maka

Bukti:

Diketahui : i). dan ii). , maka akan dibuktikan

Misalkan

1. Karena , maka , : def.sub set

2. Karena : def. Union

3. Karena : def. Himpunan Lepas

5. Karena

Jadi terbukti bahwa , jika dan maka

Teladan 1.32

Jika A, B dan C adalah sembarang himpunan, buktikan bahwa

Bukti:

Teknik pembuktian menggunakan metode kontradiksi. Artinya kita misalkan , maka jika kita dapat menunjukkan bahwa permisalan salah, maka haruslah yang bernilai benar adalah . Metode ini digunakan karena tidak mungkin kita dapat menunjukkan suatu keanggotaan yang kosong. Prosedur pembuktian sebagai berikut:

Misalkan , maka

Kenyataan 3 dan 4 bertentangan, yakni , dimana kondisi tersebut mustahil terjadi. Hal ini berarti bahwa bernilai salah, jadi seharusnya yang bernilai benar adalah .

Demikian telah disampaikan tiga metode aljabar himpunan untuk menentukan kebenaran hasil operasi suatu himpunan. Untuk mengukur tingkat pemahaman anda, silahkan soal-soal berikut diselesaikan.

KangkungGenjer.com

apa itu HIMPUNAN??

Related Post:

0 komentar :

Post a Comment