Himpunan bagian (subset)

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

Notasi: A ⊆ B

Contoh: A ⊆ B jika elemen A ada di B                                                                                                                                                                                           A={1,2,3}                                                                                                                                                                                                                                         B={1,2,3,4,5,7}                                                                                                                                                                                                                                                              C={1,2,4,5}     

Jadi : * A ⊆ B                                                                                                                                                                                                                                                                     * A bukan himpunan bagian C

1.6  Himpunan yang Sama

– Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.

– A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dariA. Jika tidak demikian, maka A ≠ B.

– Notasi : A = B  ↔  A ⊆ B dan B ⊆ A   

– Contoh: A={a,b,c}, B={c,a,b}      Jadi, A=B

– tiga prinsip yang perlu diingat dalam memeriksa kesamaan dua buah himpunan:

     jadi {1,2,3} = {3,2,1} = {1,3,2}

      Jadi, {1,1,1,1}={1,1}={1}          {1,2,3}={1,2,1,3,2,1}

3. untuk tiga buah himpunan, A, B, C berlaku aksioma berikut:

– A = A, B = B, dan C=C

– Jika A = B,maka B

– Jika A = B, dan B = C maka A = C

1.7  Himpunan Ekivalen

– Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.

– Notasi: A ~ B  ↔ |A|=|B|

Contoh: A={a,b,c} dan B={2,4,6} maka A ~ B sebab |A|= |B|

1.8  Himpunan Saling Lepas

– Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.

– Notasi : A // B  

– Contoh: jika A={2,4,6,8} dan B={3,5,7} maka A // B sebab elemen himpunan A dan elemen himpunan B tidak ada yang sama.

1.9  Himpunan Kuasa

Contoh:

– Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}

– Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P(Ø) = {Ø}, & himpunan kuasa dari himpunan {Ø} adalah P({Ø}) = {Ø, {Ø}}.

1.10  Operasi Pada Himpunan

1. Irisan ( ∩ )

Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah himpunan yg setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan himpunan B.

Notasi: A ∩ B={x | x ∈ A dan x ∈ B}

Misalkan A={1,2,3,4,5} dan B={2,3,5,7,11} maka A ∩ B={2,3,5}

2. Gabungan  ( ∪ )

Gabungan(union) dari himpunan A dan B adalah  himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B.

Notasi : A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }

Misalkan A={1,2,3,4,5} dan B={2,3,5,7,11} maka, A ∪ B={1,2,3,4,5,7,11}

3. Komplemen

Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta U adalah suatu himpunan yang elemennya

merupakan elemen U yang bukan elemen A.

Notasi : Ā = { x | x ∈ U, tapi x ∉ A }

Misalkan U={0,… 11} dan A={1,3,5,7} maka, Ā = {0,2,4,6,8,9,10,11}

4. Selisih

Selisih dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen A dan bukan elemen B. Selisih antara A dan B dapat juga dikatakan sebagai komplemen himpunan B relatif terhadap himpunan A.

Notasi : A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B } = A ∩ B’

Misalkan A={1,2,3,4,5} dan B={2,3,5,7,11} maka A – B = {1,4}

5. Beda Setangkup

Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah sesuatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya.

Notasi: A⊕B = (A∪B) – (A∩B) = (A-B) ∪ (B-A)

Misalkan A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 } maka ,  A⊕B = { 3, 4, 5, 6 }

6. Perkalian Kartesain

Perkalian kartesian (Cartesian products) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan

berurutan (ordered pairs) yang mungkin terbentuk dengan komponen kedua dari himpunan A dan B.

Notasi: A x B ={(a,b)| a ∈ A dan b ∈ B}

Misalkan C = { 1, 2, 3 },  dan D = { a, b }, maka  C × D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }

1. jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: |A x B| = |A| . |B|

2. Pasangan berurutan (a,b) berbeda dengan (b,a).

3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A x B ≠ B x A dengan syarat A dan B tidak kosong.

4. Jika A = ∅ atau B = ∅ maka A x B = B x A = ∅

1.11   Sifat-sifat Operasi Himpunan

1.12  Prinsip Inklusi-Eksklusi

Prinsip ini dikenal dengan nama prinsip inklusi-eksklusi. Dengan cara yang sama, kita dapat menghitung jumlah elemen hasil operasi beda setangkup:  ⏐A ⊕ B⏐ = ⏐A⏐ + ⏐B⏐– 2⏐A ∩ B⏐

1.13  Partisi

Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1,A2 …..dari A sedemikian

sehingga :

(a)    A1  A2  …. = A, dan

(b)   Himpunan bagian Ai saling lepas;yaitu Ai ∩ Aj = Ø untuk i ≠ j.

Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka { {1}, {2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} } adalah partisi A.